<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 8 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          6 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2009 11 edio 
          Editora Scipione. 

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627273-6

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
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<P>
                                I
 Sumrio

Terceira Parte

<R+>
Captulo 6 -- Polgonos e 
  medida de ngulos 
 1- Tangram :::::::::::::::: 247
 2- Alguns ngulos 
  notveis :::::::::::::::::: 264 
 3- ngulos formados por 
  paralelas e 
  transversais :::::::::::::: 278 
 4- Soma das medidas dos 
  ngulos internos de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 298
 5- Soma das medidas dos 
  ngulos de um polgono 
  convexo ::::::::::::::::::: 315
<R->

<113>
<P>
<tmat. medida c. 8>
<T+247>
Captulo 6 -- Polgonos e 
  medida de ngulos 

<114>
1- Tangram 

  O tangram  um quebra-cabea cuja origem no se sabe ao certo, mas que parece ter sido inventado na China. Ele tem sete peas em forma de figuras geomtricas planas. Compondo essas sete peas, podem-se formar milhares de figuras diferentes. 

Construo das peas do tangram 

  Vamos explicar como construir as peas do tangram. 
  Primeiro, recorte um quadrado de cartolina com lados de 16 cm. Depois, siga as instrues. 
  No quadrado {a{b{c{d, trace as diagonais ^c?{a{c* e ^c?{d{b* que se encontram no ponto M. Marque os pontos mdios de ^c?{a{m*, ^c?{m{c*, ^c?{a{b* e ^c?{c{b*. 
<115>
  Una agora os pontos mdios dos lados ^c?{a{b* e ^c?{b{c*. Prolongue ^c?{d{m* at esse segmento. A, complete a figura. 
  As peas do tangram esto traadas.  s recortar os sete polgonos. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  O tangram  composto por cinco tringulos, um quadrado e um paralelogramo. 
  Tendo essas peas, voc j pode comear a brincar. Por exemplo, sem olhar para a construo do tangram, embaralhe as peas e tente formar novamente um quadrado. 

As peas do tangram 

  Usando as peas do tangram, estudaremos algumas propriedades das figuras geomtricas. Mas, antes, vamos nomear cada uma das peas. 
<P>
<R+>
_`[{figura: tangram -- um quadrado grande dividido em sete peas_`]
 Legenda:
  2 tringulos grandes (TG)
  1 tringulo mdio (TM)
  2 tringulos pequenos (TP)
  1 quadrado (Q)
  1 paralelogramo (P)
<R->

<116>
  Pegue as peas P e Q e sobreponha o lado do quadrado ao lado menor do paralelogramo. Eles se ajustam perfeitamente. Isso significa que os dois lados tm a mesma medida, ou seja, so congruentes. 
  Se utilizarmos as peas TG e P, poderemos sobrepor o ngulo do paralelogramo ao do tringulo. Nesse caso, dizemos que esses ngulos so congruentes. 
  Agora, pegue os dois tringulos pequenos: colocando um sobre o outro, eles se ajustam perfeitamente. Isso indica que eles tm o 
<P>
mesmo tamanho, ou seja, so tringulos congruentes. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
 
  No tangram, a congruncia no acontece s entre os tringulos pequenos. Os tringulos grandes tambm so congruentes. 

ngulos das peas do tangram 

  Construmos as peas do tangram a partir de um quadrado _`[no adaptado_`]. 
<117>
  Se voc dobrar esse quadrado segundo a diagonal ^c?{a{c*, os ngulos :?{a{c{d* e :?{a{c{b* ficaro sobrepostos. Ento, a diagonal divide o ngulo interno de um quadrado em dois ngulos de mesma medida. Nesse caso, dizemos que :,?{c{a*  bissetriz de :?{d{c{b*. 
<P>
  Como o ngulo interno de um quadrado mede 90, a diagonal o divide em dois ngulos de 45. 
  Por sobreposio, podemos encontrar os outros ngulos das peas do tangram. 

Tringulo grande: :a=45}

<F->
r
l ^
l:a^ 
l     ^
l       ^
l         ^
l           ^
r::          ^
l_-_        :a ^
h::j::::::::::::::h
<P>
Tringulo mdio: :b=45}
       
r
l ^
l:b^  
l     ^
l       ^
r::      ^
l_-_    :b ^
h::j::::::::::h

Tringulo pequeno: :c=45}

r
l ^
l:c^ 
l     ^
r::    ^
l_-_  :c ^
h::j::::::::h

Paralelogramo: :d=45}

cccccccccc
  :d  :? 
            
    :?  :d 
    ----------u 
<P>
Quadrado: :90}

!:::::::!::
l_-_     l_-_
r::j     h::w
l           _
l           _
r::     !::w
l_-_     l_-_
h::j:::::h::j
<F+>

  Falta apenas encontrar a medida de dois ngulos do paralelogramo. Juntando TP e Q do modo indicado na figura, forma-se um polgono. Observe que o ngulo obtuso do paralelogramo pode ser sobreposto ao ngulo assinalado do polgono: 

_`[{duas figuras no adaptadas_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
  Portanto, o ngulo obtuso do paralelogramo mede 90+45=
 =135. O mesmo acontece com o outro ngulo obtuso do paralelogramo: 

<F->
:d=45}
:e=135}

cccccccccc
  :d  :e 
            
    :e  :d 
    ----------u
<F+>

<118>
Sntese

  Brincando com quebra-cabeas como o tangram, observamos na prtica congruncias de diversos 
 tipos. Veja: 

Segmentos congruentes 

  Quando dois segmentos tm a mesma medida, dizemos que eles so segmentos congruentes. 

^c?{a{b*=3 cm
 ^c?{c{d*=3 cm
 ^c?{a{b*==^c?{c{d*
 `(^c?{a{b*  congruente a ^c?{c{d*`)

<F->
      B
      o   
      
     
     
   
 o  
 A

o:::::::o
C       D
<F+>

  Note que ^c?{a{b* indica o segmento de extremidades A e B, enquanto {a{b indica a medida ^c?{a{b*. Por exemplo, nessa figura, {a{b=3 cm.
<P>
ngulos congruentes 

  Quando dois ngulos tm a mesma medida, dizemos que eles so ngulos congruentes. 

<F->
:a=30}
:b=30}
:a==:b
`(:a  congruente a :b`)

        *a           *a
      *a           *a   
    *a :a       *a :b             
A}u-------  B}u------- 
<F+>

  Por :a, costuma-se representar tanto o ngulo de vrtice A como a medida desse ngulo. 
  O ngulo tambm  indicado por :a, e a sua medida, por a. 
<F->
:a=45}

    
   
  
  :a     
j:::::::
<F+>
<P>
Tringulos congruentes 

  Dois tringulos so congruentes quando podemos sobrepor um ao outro, fazendo coincidir cada vrtice de um com cada vrtice do outro. 
<119>
  Se os vrtices coincidentes so A e {a, B e {b e C e {c, 
 temos: ^c?{a{b*==^c?{a{b*, ^c?{b{c*==^c?{b{c*, ^c?{a{c*==^c?{a{c* e :a=={a, :b=={b e :c=={c. 

<F->
            B               B   
            *l               *l
          *a l             *a l
        *a   l           *a   l
      *a     l         *a     l
    *a       l       *a       l
A}u---------l A }u---------l
            C               C
<F+>

<R+>
tringulo {a{b{c==tringulo {a{b{c `(tringulo {a{b{c  congruente a tringulo {a{b{c`).
<R->

Polgonos congruentes 

  Da mesma forma, polgonos congruentes so aqueles em que os lados e ngulos de um so respectivamente congruentes aos lados e ngulos do outro. 

<F->
     D                 S
    ^^               ^^
  ^    ^           ^    ^
Ee       ^C     Te       ^R
   e       i          e       i
    e     i            e     i
     e:::i              e:::i
     A  B             P  Q
<F+>
 
<R+>
{a{b{c{d{e=={p{q{r{s{t `(o polgono {a{b{c{d{e  congruente ao polgono {p{q{r{s{t`). 
<R->

  As congruncias tambm so utilizadas, na teoria, para definir outros conceitos, como ponto mdio e bissetriz. 
<P>
Ponto mdio de um segmento 

  M  ponto mdio de um 
 segmento ^c?{r{s* quando ^c?{r{m*==^c?{m{s*. 

<F->
o:::::o:::::o
R     M     S
<F+>

<R+>
M  o ponto mdio de {r{s: ^c?{r{m*==^c?{m{s* (^c?{r{m*  congruente a ^c?{m{s*). 
<R->

Bissetriz de um ngulo 

  Bissetriz de um ngulo  a semirreta que o divide em dois ngulos congruentes. 
<P>
<F->
      B ^
       o
     ^
   ^    M
A::::::o::
   ^
     ^
       o
      C ^
<F+>

<R+>
:,?{a{m*  bissetriz de :?{b{a{c* :?{b{a{m*==:?{m{a{c* `(:?{b{a{m*  congruente a :?{m{a{c*`). 
<R->
 
<120>
Atividades

<R+>
_`[{para as atividades de 1 a 5, pea orientao ao professor_`]

1. Este trapzio _`[no adaptado_`] foi construdo com peas do tangram. D as medidas dos ngulos internos do trapzio: :a, :b, :c, :d. 
<P>
2. Pegue suas peas de tangram, monte as figuras solicitadas e desenhe as solues no caderno. 
 a) Com duas peas, forme uma figura geomtrica congruente ao paralelogramo P. 
 b) Com duas peas, forme uma figura geomtrica congruente ao quadrado Q. 
 c) Com trs peas, forme, de trs maneiras diferentes, uma figura geomtrica congruente ao tringulo TG.

3. Com as sete peas do tangram, forme um tringulo como o que est a seguir e desenhe a soluo obtida no caderno.

<F->
           
       
                       
                     
  --------u
<F+>
<P>
4. Utilizando as sete peas do tangram, forme um retngulo. Desenhe a soluo no caderno.
 5. Utilizando quatro peas do tangram, forme um quadrado de trs maneiras diferentes. Desenhe as solues no caderno. 
 
Pensando em casa

_`[{para as atividades de 6 a 9, pea orientao ao professor_`]

6. Utilizando cinco peas do tangram, forme um quadrado. Desenhe a soluo no caderno.
 7. Com as sete peas do tangram, formamos este hexgono _`[no adaptado_`]. Encontre as medidas dos ngulos internos. 
 8. O hexgono do exerccio anterior  regular? Justifique sua resposta. 
  Lembrete: um polgono  regular quando todos os seus ngulos internos so congruentes, o mesmo acontecendo com os seus lados.
<P>
 9. Utilizando as sete peas do tangram, forme as seguintes figuras. Desenhe as solues no caderno. 

_`[{desenho de um gato e de um chins_`]

Desafios e surpresas

1. Usando as sete peas do tangram, construa um paralelogramo como este: 

<F->
Legenda:
  :a=45}
  :b=135}

      ccccccccccm
      :b  :a 
              
    :a :b  
  ----------
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<121>
<P>
2- Alguns ngulos notveis 

  Voc j conhece o ngulo de uma volta e o ngulo raso. 

<R+>
_`[{duas figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: O ngulo de uma volta mede 360. 
 Legenda 2: O ngulo raso ou de meia volta mede 180. 
<R->

  Sabendo disso, podemos obter algumas medidas de ngulos sem usar transferidor ou outros instrumentos de medida. Veja, por exemplo, este piso de ladrilhos hexagonais: 

_`[{foto: piso de ladrilhos_`]

  Todos esses ladrilhos tm o mesmo tamanho e a forma de um hexgono regular. 
  Para calcular a medida do ngulo interno do hexgono regular, observe os ngulos assinalados na figura _`[no adaptada_`]. Eles tm a mesma medida *x* porque nos polgonos regulares todos os ngulos internos so congruentes. 
  Como juntos eles formam o ngulo de uma volta, temos: 
 3x=360 
 x=120. 
  Cada ngulo interno do hexgono regular mede 120. 
  Vamos agora calcular a medida do ngulo externo do hexgono regular. 

<R+>
:i  um ngulo interno do hexgono. :e  um ngulo externo, obtido pelo prolongamento de um lado.
<R->

<F->
    *:::::?      i
   *       ?:e i
  *         ?  i
 *           ?i 
 e       :i i
  e         i
   e       i
    e:::::i
<F+>
 
<122>
  Observe que :i+:e formam um ngulo raso, ou seja, de 180. Assim: 
 i+e=180 
 120+e=180 
 e=60. 
  No hexgono regular, o ngulo externo mede 60. 

Observe 

  Na figura da pgina 265, os ngulos :i e :e so chamados de ngulos adjacentes. Eles tm o lado e um vrtice comum. Veja mais um exemplo: 

<F->
:a e :b so ngulos adjacentes.

         ^
       ^
     ^
   ^ :a    
V::::::::::
   ^ :b
     ^
       ^
         ^
<F+>
<P>
  Vamos agora examinar ngulos opostos pelo vrtice. 
  Dois ngulos so opostos pelo vrtice quando os lados de um so prolongamento dos lados de outro: 

<R+>
:a e :b so opostos pelo 
  vrtice.
<R->

<F->
^      ^
  ^  ^          
:a o :b
  ^V^
^      ^
<F+>

  Medindo os ngulos :a e :b com um transferidor, voc ver que eles so congruentes. No entanto, sem medi-los, pode-se demonstrar que: 

  Dois ngulos opostos pelo vrtice so congruentes. 

  Agora, faremos essa demonstrao. Veja as duas figuras: 

<F->
a+c=180

^  :c ^
  ^  ^          
:a ^ 
  ^V^
^      ^

b+c=180

^  :c ^    
  ^  ^          
    ^ :b        
  ^V^       
^      ^
<F+>

<123>
  Das duas igualdades anteriores, conclumos que a+c=b+c. 
  Subtraindo a medida *c* dos dois membros, obtemos: a=b. 
  Assim, demonstramos que dois ngulos opostos pelo vrtice sempre so congruentes. 
  Na demonstrao, usamos nosso raciocnio e o conhecimento de que um ngulo raso tem 180. Note que demonstrar uma propriedade  o 
<P>
mesmo que justific-la ou provar que ela  verdadeira.

Atividades 

<R+>
_`[{para as atividades de 10 a 12, pea orientao ao professor_`]

10. Em cada uma das figuras 
  _`[no adaptadas_`], calcule a medida do ngulo :a. 

11. Nesta figura _`[no adaptada_`], os tringulos so regulares. 
 a) Quanto mede :i? 
 b) Encontre a medida do ngulo externo :e.

12. Observe a figura _`[no adaptada_`] e diga quais so as sentenas verdadeiras. 
 a) :b==:d, porque so opostos pelo vrtice. 
 b) a+f+e=180, porque :a, :f e :e formam um ngulo raso. 
 c) :b==:e, porque so opostos pelo vrtice. 
 d) a+b+c+d+e+f=360, porque eles formam um ngulo de uma volta. 
 e) Se :c medir 70, ento :f tambm medir 70.

13. Quanto medem os ngulos :a, :b e :c desta figura? 

<F->
  ^ 107}^
    ^  ^          
  :b o :c
    ^  ^
  ^  :a ^ 
<F+>

14. Calcule a medida dos trs ngulos desta figura _`[no adaptada_`]:
  Resoluo: 
  Como os trs ngulos juntos formam um ngulo raso, temos: 
  5x+x+4x=180 
  10x=180 
  x=18.  
  Portanto, x=18, 4x=72 e 5x=90. 
<124>
<P>
 15. Na figura _`[no adaptada_`], calcule a medida dos ngulos :?{b{o{c* e :?{a{o{b*.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

16. Com as informaes dadas a seguir, encontre a medida de :?{a{p{b* e de :?{c{p{d*. 

<F->
  ^ A        C ^
    o          o
      ^      ^    
        ^  ^          
          ^        
        ^ ^       
   B ^  P ^ D
    o         o
  ^             ^  
<F+>

  :?{a{p{b* mede 4x+2}. 
  :?{c{p{d* mede 2x+16}. 
  Resoluo: 
  Como :?{a{p{b* e :?{c{p{d* so ngulos opostos pelo vrtice, eles tm medidas iguais. 
  4x+2=2x+16; portanto, 2x=14 e x=7. 
  :?{a{p{b*=4x+2=30 
  :?{c{p{d*=2x+16=30
 17. Utilizando as indicaes da figura, encontre a medida do 
  ngulo :a. 

<F->
                   r
      ^          ^
        ^  :a ^
          ^  ^          
  :3x+7} ^ :2x+17}
          ^  ^
        ^      ^  s
      ^          ^
<F+>
 
18. Utilizando as indicaes da figura, encontre a medida de :?{a{o{c* e de :?{c{o{b*. 

<F->
              C *
               o
              *
   :x+40}  * :x-10}
  ::::o::::o:::::::::o
      A    O         B
<F+>
<P>
19. Dois ngulos so suplementares quando a soma de suas medidas  180. Nesse caso, cada ngulo  o suplemento do outro. 
  Agora, diga se  verdade: 
 a) Dois ngulos adjacentes e suplementares formam um ngulo raso. 
 b) O suplemento de um ngulo reto  um ngulo reto. 
 c) Dois ngulos agudos podem ser suplementares. 
 d) O suplemento do ngulo raso  o ngulo nulo.

20. Este mosaico _`[no adaptado_`]  formado por quadrados e octgonos regulares. Calcule a medida dos ngulos internos do octgono regular.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
Pensando em casa

21. :?{a{o{b*  um ngulo raso. 

<F->
                  *
              C *
               o
              *
  :7x+18} * :2x
  ::::o::::o:::::::o
      A    O       B
<F+>

a) :?{a{o{c* e :?{b{o{c* so suplementares? 
 b) Calcule a medida desses dois ngulos. 

_`[{para as atividades 22 e 23, pea orientao ao professor_`]

22. Com as indicaes da figura _`[no adaptada_`], calcule a medida de :?{a{o{b*, :?{b{o{c*, :?{c{o{d* e :?{d{o{a*.
<125>
 23. Encontre a medida de :?{a{o{b*, :?{b{o{c*, :?{c{o{d* e :?{d{o{a* _`[no adaptados_`].
 24. Calcule a medida dos dois ngulos assinalados. 

<F->
       s           r
      ^          ^
        ^      ^
          ^  ^          
  :6x+5} ^ :8x-10}
          ^  ^
        ^      ^  
      ^          ^
      r             s
<F+>

25. Diga se  verdade: 
 a) Dois ngulos adjacentes so sempre suplementares. 
 b) Dois ngulos opostos pelo vrtice nunca so suplementares.

26. Este piso _`[no adaptado_`]  formado por ladrilhos em forma de losangos, todos congruentes entre si. Calcule os ngulos internos desses losangos.
<P>
 27. Em todo polgono, quanto 
  d a soma de um ngulo interno com o ngulo externo de mesmo vrtice?

_`[{para as atividades de 28 a 30, pea orientao ao professor_`]

28. Neste mosaico _`[no adaptado_`] foram combinados quadrados e hexgonos. Todos os quadrados so congruentes, e todos os hexgonos tambm. Calcule a medida dos ngulos internos do hexgono.
 29. Para obter um ngulo externo de um polgono, prolongamos um de seus lados. Calcule a medida dos ngulos externos destes pentgonos _`[no adaptados_`]:

30. Represente dois ngulos opostos pelo vrtice. Consi-
  dere ainda as bissetrizes desses ngulos. 
<P>
 a) Se os ngulos opostos pelo vrtice medirem 30, quanto medir o ngulo formado pelas duas bissetrizes? 
 b) E se os ngulos opostos pelo vrtice medirem 45? 

Desafios e surpresas

2. Observe a figura a seguir. 

<F->
  ^          ^
    ^  :b ^
      ^  ^          
        ^ :a
      ^  ^
    ^      ^  
  ^          ^
<F+>

a) Se a medida do ngulo :a  60, quanto mede o ngulo formado pelas bissetrizes dos ngulos :a e :b? 
 b) E se :a medir 50? 
 c) Demonstre que as bissetrizes de :a e :b sempre formam um 
<P>
  ngulo de 90, qualquer que seja a medida do ngulo agudo :a. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
 
<126>
3- ngulos formados por 
  paralelas e transversais 

  Vamos estudar mais alguns ngulos notveis. 
  Para comear, observe os vrios ngulos formados quando a reta transversal t corta as retas paralelas u e v. 

<F->
             t
             * 
u       :a * :b
:::::::::::*::::::  
      :d * :c 
         *
        *   
v :a * :b 
::::::*:::::::::::
:d * :c      
    *
<F+>
<P>
  Muitos desses pares de ngulos recebem nomes especiais, devido  posio que ocupam nessa situao. Veja alguns nomes: 
<R+>
  Os ngulos :a e :a so chamados de correspondentes, porque ocupam posies parecidas em relao  transversal. Os ngulos :d e :d tambm so chamados de correspondentes. 
  Os ngulos :c e :a so chamados de alternos internos: alternos, porque esto em lados opostos em relao  transversal; internos, porque esto entre as paralelas. Tambm so chamados de alternos internos os ngulos :d e :b. 
  Os ngulos :c e :b so chamados de colaterais internos. Agora, voc j deve ter percebido a razo desse nome, no ? 
<R->
  Veja outros exemplos desses 
 ngulos. 
<P>
<F->
correspondentes

     *       *
    * :a  * :a 
:::*:::::::*:::::
  *       *
 *       * 

alternos internos

     *        *
    * :a   *  
:::*::::::::*:::::
  *    :c *
 *        *  

colaterais internos

           *
          *
:::::::::*:::::
    :c *
       *
 :b *
:::::*::::::::
    *
   *
<F+>

<127>
Propriedades dos ngulos formados 
  por paralelas e transversal 

  Imagine que voc deslize a reta u na direo da transversal, mantendo u paralela a v. O que vai acontecer? 

<F->
             t
             * 
u       :a * 
:::::::::::*::::::  
          * :c 
         *
        *   
v :a * :b 
::::::*:::::::::::
     *       
    *
<F+>

  Quando a reta u fica sobre v, notamos que os correspondentes :a e :a se sobrepem. So congruentes. 
  Notamos tambm que os alternos internos :c e :a ficam opostos 
<P>
pelo vrtice. Tambm so congruentes. 
  Finalmente, notamos que os colaterais :c e :b formam um ngulo de 180. 
  Dessas observaes podemos concluir que: 

  Duas paralelas e uma transversal determinam: 
<R+>
  ngulos correspondentes congruentes; 
  ngulos alternos internos congruentes; 
  ngulos colaterais internos suplementares. 
<R->

  Reciprocamente tambm podemos dizer que se uma transversal t corta duas retas u e v e forma ngulos correspondentes congruentes, as retas so paralelas. 
  Com essas propriedades, descobriremos nos prximos itens 
 fatos importantes sobre os pol-
 gonos. 
<P>
Quando no h paralelas 

  Na figura _`[no adaptada_`], as retas u e v no so paralelas.  fcil perceber que os ngulos :a e :a no so congruentes e os ngulos :c e :a tambm no. 
<128>
  No entanto, :a e :a continuam sendo chamados de correspondentes. Da mesma forma, :c e :a continuam sendo chamados de alternos internos. Veja que o nome dos ngulos no muda, mas a propriedade de serem congruentes s vale quando as retas que os formam so paralelas. 

Usando as propriedades 

Exemplo 1 

  Os desenhistas traam retas paralelas fazendo ngulos correspondentes congruentes. 
<P>
<F->
       *        *
      *        *
     *        *
    * 45}   * 45}
-------------------
<F+>

  Com um esquadro sobre uma rgua pode-se desenhar um ngulo de 45. Desliza-se o esquadro e faz-se outro ngulo de medida igual. As retas produzidas so paralelas. 

Exemplo 2 

  Na figura seguinte, calcule a medida de :a e de :b, sabendo que a=4x e b=2x+30. 

<F->
r_ls

r ^
ccccccccccccccccc
      ^ :a
        ^
s     :b ^
cccccccccccccmcccc
              ^
<F+>
<P>
  Como as retas so paralelas, os ngulos alternos internos :a e :b so congruentes. Podemos escrever uma equao, calcular o valor de *x* e obter a medida dos ngulos. Veja: 
 4x=2x+30  
 2x=30 
 x=15. 
  Portanto: a=4x=4"15=60 e b=2x+30=2"15+30=60. 

<129>
Exemplo 3 

  Observe o paralelogramo da 
 figura: 

<F->
    ccccccccccccccm
    :y      :w 
                
  :x      :z 
--------------
<F+>

  Os ngulos :x e :y so colaterais internos e somam 180. O mesmo ocorre com :w e :z. A partir dessa observao, j  possvel descobrir qual  a soma das medidas dos quatro ngulos internos do paralelogramo, ou seja, o valor de x+y+z+w. Descobriu quanto ?

Atividades 

<R+>
_`[{para as atividades de 31 a 34, pea orientao ao professor_`]

31. Examine a figura _`[no adap-
  tada_`] e diga que nome recebem os pares de ngulos: 
 a) :x e :y 
 b) :x e :z
 c) :z e :w 
 d) :y e :u

32. Nesta figura _`[no adaptada_`], r  paralela a s, :a mede 2x+7 e :b mede 3x-3. Calcule as medidas de :a e de :b.
 33. Representamos as para-
  lelas r e s e as transver-
<P>
  sais u e v. Calcule a medida 
  de :x e de :y. 

_`[{desenho no adaptado_`]

34. Para traar por um ponto P a paralela  reta r, um desenhista utiliza rgua e esquadro da maneira ilustrada a seguir. Explique por que a reta s  paralela a r.

_`[{desenho no adaptado_`]
 
35. Temos x=120 e um paralelogramo {a{b{c{d. Calcule a medida de :a, :b e :c, justificando suas respostas. 

<F->
           A             B
           ccccccccccccccm
           :a      :b 
                       
    :x           :c 
   cccccccccccccccccccc
      D             C
<F+>

<130>
36. Demonstre que os ngulos opostos de qualquer paralelogramo so congruentes. 

<F->
                                    
                        
      ccccccccccccmcccc
      :a    :b  :x
                
    :d    :c 
  ^ccccccccccccmcccccc 
               :y     
             
<F+>

  Sugesto: :a e :c so ngulos opostos do paralelogramo. Por isso, voc deve mostrar que a=c. Pense nos ngulos :a e :x e depois nos ngulos :x e :c.
 37. Sabendo que r e s so paralelas, determine a medida dos ngulos assinalados. 
<P>

<F->
    ?            
  r  ?     
  ::::?:::::::::::::::::  
       ? :5x+2}      
        ?    
         ?       
  s       ? :25x+58}
  :::::::::?::::::::::::
            ?  
             ? 
<F+>

Pensando em casa 

_`[{para as atividades 38 e 39, pea orientao ao professor_`]

38. Diga o nome dos pares de ngulos assinalados. 

_`[{os ngulos assinalados esto representados pelo smbolo **_`]
<P>
<F->
a)
   u
    ?            
  r  ?     
  ::::?:::::::::::::::::  
   : ?       
        ?    
         ?       
  s       ? :
  :::::::::?::::::::::::
            ?  
             ?

b)
   u
    ?            
  r  ?     
  ::::?:::::::::::::::::  
       ? :      
        ?    
         ?       
  s       ? :
  :::::::::?::::::::::::
            ?  
             ?
<P>
c)
            u          v
                      
  r ccccccccccccccccccccc
                     :c
                   
         :a  :b 
  s --------------------

d)
   u
    ?            
  r  ?     
  ::::?:::::::::::::::::  
   : ?       
        ?    
         ?       
  s       ? 
  :::::::::?::::::::::::
        : ?  
             ?
<P>
e)
    r          s
     ?          ?
  u   ?          ?
  :::::?::::::::::?::::
        ? :  : ?
         ?          ?
          ?          ?

f)
   r          s
    ?          ?
     ?          ?
  u   ?      : ?
  :::::?::::::::::?::::
        ? :      ?
         ?          ? 
<F+>

39. Encontre a medida de todos os ngulos assinalados, usando as informaes que aparecem nas figuras. 
<P>
 a) r_ls; a=130 

<F->
                t
               * 
  r       :a * 
  :::::::::::*::::::  
        :b *  
           *
          *   
  s      * :c 
  ::::::*:::::::::::
       *       
      *
<F+>

b) r_ls; a=65 

<F->
                   r         
             *::::::  
            * :c 
           *
          *   
         * :b     s
  ::::::*:::::::::::
   :a *       
      * 
     t
<F+>

c) r_ls; u_lv; a=80 

<F->
            u          v
                      
  r ccccccccccccccccccccc
                     :c
                   
         :a  :b 
  s --------------------
<F+>

<131>
40. Num paralelogramo, um ngulo interno mede 110. Quanto medem os outros ngulos internos?
 41. Na figura, temos r_ls. Calcule a medida do ngulo assinalado na cor. 

_`[{o ngulo assinalado est representado pelo smbolo **_`]
<P>

<F->
          t
           ?             
  r         ?     
  :::::::::::?:::::::::::::::  
  :10x+20} ?       
               ?    
                ?       
  s              ? 
  :::::::::::::::::?::::::::::
        :150}-3x ?   
                     ?
<F+>

42. Representamos as paralelas 
  r e s e as transversais u e v. Encontre a medida de :c. 
 
_`[{figura no adaptada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
43. Vendo as informaes dadas na figura, voc pode perceber que elas no esto certas. Como se pode concluir isso? 

  {a{b{c{d  paralelogramo.

<F->
  B                C 
   ccccccccccccccccc
                     
                      
                       
                        
                         
          :132}  :58} 
          -----------------u
          A               D 
<F+>

44. Observe a figura. Os ngulos :x e :y so chamados de alternos externos. Demonstre que, se r_ls, esses alternos externos so congruentes. 
<P>

<F->
       t
       ?            
  r :x ?     
  :::::::?:::::::::::: 
          ?       
           ?    
            ?       
  s          ? 
  ::::::::::::?:::::::
               ? :y  
                ?
<F+>

Desafios e surpresas

3. Na figura, as retas r e s so paralelas. Demonstre que: x=a+b. 
  Sugesto: trace a paralela s retas r e s que passa por V. 
<P>
<F->
          
         
         :a    r
  :::::::::::::::      
                      
  V  :x              
                s
  :::::::::::::::
         :b
         
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<132>
4- Soma das medidas dos ngulos 
  internos de um tringulo 

  Os tringulos podem ter as mais diferentes formas. Assim, as medidas dos seus ngulos internos tambm podem ser as mais variadas. 
  No entanto, as medidas dos trs ngulos de qualquer tringulo sempre tm algo em comum: somadas, do 180. 
  Para confirmar essa propriedade, que tal desenhar um tringulo, medir seus ngulos e som-los? 
   surpreendente, mas essa propriedade pode ser demonstrada sem se fazer uma s medida. Isso ocorre na demonstrao que apresentaremos a seguir, feita por Tales, um matemtico grego do sculo V a.C. 

A demonstrao de Tales 

  Considere um tringulo qualquer {a{b{c. 

<F->
        A    
         
         
          
      :a  
            
             
   :b    :c 
 --------------u
 B            C
<F+>

  Pelo vrtice A, trace a reta r paralela ao lado ^c?{b{c*.
  Vamos chamar os ngulos assinalados de :x e :y. 

<F->
        A
 --------------
    :x  :y
          
          
      :a  
            
             
   :b    :c 
 --------------u
 B            C
<F+>

<133> 
  Sabemos que x=b, porque so medidas de ngulos alternos internos de retas paralelas, e que y=c, pelo mesmo motivo. 
  Ento, a soma a+b+c pode ser escrita assim: a+x+y. Essa soma d 180, porque :x, :a e :y formam um ngulo raso. 
  Portanto: a+b+c=180. 
  Assim, Tales, j no sculo V a.C., demonstrou que: 
<P>
  Em qualquer tringulo, a soma das medidas dos ngulos internos 
  180. 

  Nessa demonstrao, Tales usou propriedades geomtricas muito simples, que j estudamos: os ngulos alternos internos de retas paralelas so congruentes; e um ngulo raso tem 180. 

O que  um teorema? 

  Quando uma propriedade  demonstrada por meio de propriedades j conhecidas, ela  chamada de teorema. 
  Para demonstrar ou provar um teorema, devemos construir uma argumentao com base em propriedades j conhecidas. Essa argumentao deve dar s pessoas a certeza de que o teorema  verdadeiro. 
  O teorema que acabamos de ver afirma que, em qualquer tringulo, a soma das medidas dos ngulos internos  180. 
  Depois que um teorema  provado, ele costuma ser usado na demonstrao de novos teoremas. Como exemplo, vamos utilizar o anterior para demonstrar este outro teorema: 

  Em qualquer tringulo, a medida de cada ngulo externo  a soma das medidas dos ngulos internos no adjacentes. 

  Considere um tringulo 
 qualquer. 

ngulo externo: :e
 ngulos internos no adjacentes 
  a :e: :a e :b

<F->
       
        
         
     :a  
           
            
  :b    :c  :e
--------------u-------
<F+>
 
  Vamos demonstrar que e=a+b. 

<134>
Demonstrao 

  Sabemos que e+c=180. 
  Pelo teorema anterior, sabemos ainda que: a+b+c=180. 
  Ento: e+c=a+b+c. 
  Subtraindo *c* dos dois membros dessa igualdade, obtm-se: e=a+b. 
  Demonstramos assim que a medida do ngulo externo :e  a soma das medidas dos internos no adjacentes :a e :b.

Um pouco de histria da geometria 

  Povos muito antigos, de cerca de 10.000 anos atrs, j tinham ideia das formas geomtricas. 
 Eram capazes de fazer pinturas e utenslios enfeitados com losangos, quadrados etc. Os povos 
 das primeiras civilizaes, os egpcios e os habitantes da 
 Mesopotmia (regio onde fica 
<P>
 hoje o Iraque), ampliaram esses conhecimentos. 
  Os egpcios construram grandes pirmides, cujas faces eram tringulos regulares perfeitos com os trs ngulos medindo 60, por volta de 3.500 anos atrs. H cerca de 3.000 anos, eles e os povos da Mesopotmia j sabiam calcular a rea de retngulos, e os proprietrios de terras pagavam impostos de acordo com a rea que possuam. 
  A geometria que voc estuda foi, porm, organizada e aprofundada pelos gregos, entre 2.500 e 2.000 anos atrs. (Para voc se situar, Cristo nasceu h cerca de 2.000 anos.) Os matemticos gregos criaram uma grande novidade: demonstraram com raciocnio lgico os fatos geomtricos. Os egpcios, por exemplo, deviam saber que a soma das medidas dos ngulos de um tringulo  aproximadamente 180}, mas chegaram a essa concluso medindo vrios ngulos, fazendo experincias, o que no possibilita certeza absoluta. J os gregos, como voc viu na demonstrao de Tales, raciocinaram e tiveram certeza de que o valor  exatamente 180}.
  Os conhecimentos geomtricos dos gregos, expostos em um livro do matemtico Euclides, so aplicados h muito tempo na construo de edifcios, estdios etc. Sua influncia cresceu a partir do sculo XVII, ajudando a construir mquinas e motores, levando  descoberta das distncias entre os astros, possibilitando at mesmo a chegada dos seres humanos  Lua. 
  Diversas aplicaes prticas dos conhecimentos geomtricos vo aparecer neste captulo e mais ainda quando voc estudar a geometria no 9 ano. Mas saiba que ela no  importante apenas por suas aplicaes. A geometria aprimora seu raciocnio e isso  muito importante. 

<135>
<P>
Atividades 

<R+>
45. Conhecendo a medida de dois ngulos internos de um tringulo,  fcil encontrar a medida do terceiro ngulo. Nesta figura _`[no adaptada_`], encontre a medida *b*. 
  Resoluo: 
  A soma dos ngulos internos de um tringulo  180. 
  Ento: 90+20+b=180; portanto, b=70. 
 46. Num tringulo {a{b{c, :a mede 107 e :b, 35. Calcule a medida de :c. 

47. Considere a figura a seguir. 

_`[{tringulo com as medidas dos ngulos a seguir_`]
  :A=5x-25} 
  :B=x+30}
  :C=x.
<P>
a) Escreva uma equao em x, mostrando que a soma das medidas dos ngulos desse tringulo  180. 
 b) Calcule o valor de x e d a medida de cada ngulo interno do tringulo. 

48. Nesta figura, *e*  um ngulo externo do tringulo. Encontre as medidas *x* e *e*. 

_`[{tringulo com as medidas dos ngulos a seguir_`]
  ngulo interno: :40}, :82}, :x. ngulo externo ao ngulo :x: :e.

_`[{para as atividades de 49 a 53, pea orientao ao professor_`]
 
49. Normalmente, no vemos a estrutura que sustenta o telhado de uma casa. Ela  a tesoura do telhado. Observe a figura _`[no adaptada_`]. 
  Examine a tesoura que mostramos acima e calcule a medida de :a, :b, :c, :d, :e e :f. 
 50. Nesta figura _`[no adaptada_`], :,?{c{d*  bissetriz 
  do ngulo :C. Calcule x. 
  Resoluo: 
  Primeiro, calculamos a medida de :C: :C+70+30=180; portanto, :C=80. 
  Como :,?{c{d*  bissetriz 
  do ngulo :C, temos :?{d{c{b*=40. 
  Agora, considere os ngulos internos do tringulo {b{c{d: 
  A soma desses ngulos  180. Logo: x+40+30=180; 
  portanto, x=110. 
 51. No tringulo {a{b{c _`[no adaptado_`], :A mede 70, :C mede 86 e :,?{c{d*  a bissetriz de :C. Calcule a medida de :B e de :?{c{d{b*. 
<136>
 52. Na figura, :,?{b{d*  bissetriz de :?{a{b{c* e :,?{c{d*  bissetriz de :?{a{c{b*. Cal-
  cule x.

_`[{tringulo {a{b{c no adaptado com o contedo a seguir_`] 
  :?{a{b{c*=50}
  :?{a{c{b*=40} 

53. Na figura, foram traadas as bissetrizes de :B e :C. 

_`[{tringulo {a{b{c no adaptado, com o ngulo x, formado pelas bissetrizes de :B e :C_`]

  Mesmo sem saber a medida de :B e :C, voc pode provar que x=135. Demonstre esse 
  fato. 
  Sugesto: comece calculando :B+:C.

Pensando em casa

54. No tringulo retngulo {a{b{c, ^c?{a{h*  uma altura. Determine o ngulo que essa altura forma com o lado ^c?{a{b*, sabendo que :C mede 30. 

<F->
            A
             
            _^
            _  ^
            _    ^
            _      ^       
            _        ^
            _          ^      
         !::w            ^              
         l_-_              ^
    j:::::h::j::::::::::::::::h
   B       H               C
<F+>

55. A figura _`[no adaptada_`] mostra a trajetria da bola em uma mesa de bilhar. Quando ela bate na lateral da mesa, forma-se um ngulo de chegada que sempre  igual ao ngulo de sada. Suponha que a bola foi lanada com um ngulo a=45. Qual ser a medida x? E y? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
56. Um tringulo no pode ter dois ngulos internos obtusos. Explique por qu. 
 57. Para fazer a planta de um terreno quadrangular, um topgrafo fez o rascunho representado na figura _`[no adaptada_`]. Ele no mediu os ngulos :B e :D porque sabia que poderia calcul-los em casa. Qual  a medida desses ngulos? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

58. Que novidade os antigos matemticos gregos trouxeram para a geometria?
 59. Num tringulo {a{b{c o ngulo externo do vrtice B mede 120 e o ngulo interno :A mede 20. Calcule a medida dos demais ngulos internos do tringulo.
 60. Um tringulo tem um ngulo de 70. Os outros dois so ngulos congruentes. So traadas as bissetrizes desses ngulos congruentes. Elas formam um ngulo obtuso. Calcule a medida desse ngulo.
 61. Na figura, s conhecemos a medida dos dois ngulos assinalados. Os ngulos internos do tringulo {a{d{e tm medidas respectivamente iguais aos 
  ngulos internos do tringulo {a{b{c? Justifique sua res-
  posta. 

_`[{ngulos assinalados: :E, :C_`]
<F->
                     B
                     
                   ^ _
                 ^   _
             D^     _  
                    _
           ^ _       _
         ^   _       _
       ^  !::w    !::w   
     ^    l_-_    l_-_
    j::::::h::j::::h::j
   A        E      C 
<F+>
<137>
 62. Resolvendo este exerccio, voc compreender melhor o que  demonstrar. So dadas trs informaes: 
  1. Alzira, Bete, Carla, Dirce e Elvira foram as cinco mais bem colocadas num torneio de tnis de mesa. 
  2. Carla classificou-se entre Dirce e Elvira. 
  3. Alzira foi a 5 colocada e Dirce, a 2. 
  Com essas informaes, demonstre que Bete obteve o 1 lugar.
 63. No paralelogramo {a{b{c{d _`[no adaptado_`] traamos as bissetrizes de :A e :D. Demonstre que essas bissetrizes so perpendiculares. 
  Sugesto: voc deve saber quanto mede :A+:D; da, obtenha a medida de x+y e...

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Desafios e surpresas

_`[{para as atividades 4 a 6, pea orientao ao professor_`]
 
4. Na figura _`[no adaptada_`], :,?{c{s*  bissetriz de :C, e :,?{b{r*  bissetriz de :B.
 a) Calcule x+y. 
 b) Calcule a medida de :A.

5. Na figura _`[no adaptada_`], temos r_ls. Determine os ngulos internos do tringulo {a{b{c.
 6. Demonstre que, em qualquer tringulo, a soma das medidas dos ngulos externos  360. 

_`[{figura: tringulo no 
  adaptado_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<138> 
<P>
5- Soma das medidas dos ngulos 
  de um polgono convexo

  Daqui para a frente vamos tratar principalmente de polgonos convexos. Para simplificar escreveremos apenas "polgonos", mas voc s dever pensar nos convexos, salvo aviso nosso. 
  Relembre, a seguir, a diferena entre um polgono convexo e um no convexo:

<R+>
_`[{duas figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: Polgono convexo: ngulos internos medindo menos que 180}.
 Legenda 2: Polgono no convexo: pelo menos um ngulo interno mede mais que 180}.
<R->
<P>
Soma das medidas dos ngulos 
  internos 
 
Quadriltero 

  Todo quadriltero convexo fica dividido em dois tringulos quando traamos uma de suas diagonais. 
  Pelo teorema da soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo, temos: 
 a+b1+d1=180 
 b2+c+d2=180. 
  Somando essas igualdades membro a membro, obtemos: 
 a+b1+d1+b2+c+d2=180+
  +180 
 a+b1+b2+c+d1+d2=360
 a+b+c+d=360. 
  Portanto, em qualquer quadriltero convexo, a soma das medidas dos ngulos internos  360. 

<139>
Pentgono e hexgono 

  Agora, vamos considerar pentgonos e hexgonos convexos. 

<R+>
_`[{duas figuras descritas por sua legenda_`]
 Legenda: Traando todas as diagonais que partem de um mesmo vrtice, o pentgono fica dividido em 3 tringulos. Fazendo o mesmo no hexgono, ele fica dividido em 4 tringulos.
<R->

  Ento, a soma das medidas dos ngulos internos de qualquer pentgono convexo  3'180=540 e, de um hexgono, 4'180=720. 

Polgono de n lados 

  J calculamos a soma das medidas dos ngulos nos polgonos de 4, 5 e 6 lados. Em vez de calcular essa soma nos polgonos de 7, 8, 9 ou mais lados, um de cada vez, vamos calcul-la no polgono de n lados. O resultado que obteremos servir, ento, para qualquer polgono, porque n pode representar qualquer nmero de 
 lados. 
  Nos casos anteriores, voc observou um padro quando traamos as diagonais. Nos quadrilteros, produzimos 2 tringulos; nos pentgonos, 3 tringulos; nos hexgonos, 4 tringulos. Observando essas regularidades, podemos generalizar: 

<F->
!:::::::::::::::::::::::
l nmero de _ nmero de  _
l lados     _ tringulos _
r:::::::::::w::::::::::::w
l 4        _ 2         _
r:::::::::::w::::::::::::w
l 5        _ 3         _
r:::::::::::w::::::::::::w
l 6        _ 4         _
r:::::::::::w::::::::::::w
l '''       _ '''        _
r:::::::::::w::::::::::::w
l n         _ n-2       _
h:::::::::::j::::::::::::j
<F+>

  H sempre 2 tringulos a menos que o nmero de lados porque cada tringulo que aparece contm um dos lados do polgono, exceto o primeiro e o ltimo tringulos, que contm dois lados. 
  Logo, a soma das medidas dos ngulos internos de um polgono de n lados  `(n-2`)'180. 
  Indicando essa soma pela varivel S, temos a frmula: S=`(n-2`)'180. 

<140>
Soma das medidas dos ngulos 
  externos 

  Conhecendo a soma das medidas dos ngulos internos, podemos descobrir tambm a soma das medidas dos ngulos externos de um polgono convexo. 
  Comece observando que cada ngulo externo, com o ngulo interno adjacente, forma um ngulo de 180. 

<R+>
_`[{desenho de um polgono_`]
 Legenda: Em cada vrtice, o ngulo interno mais o ngulo externo formam um ngulo raso. 
<R->

  Assim, num polgono de n lados, somando as medidas dos ngulos internos e externos, h um total dado por T=n'180. 
  Temos, ento: 
 T=S+Se
 T: total=n'180}
 S: soma das medidas dos ngulos 
  internos
 Se: soma das medidas dos ngulos 
  externos.
  Portanto, Se=T-S. Substituindo T e S por seus valores em funo de n, conclumos:
 Se=n'180}-`(n-2)'180}
 Se=n'180}-n'180}+360}
 Se=360}.
  Surpreendente! A soma das medidas dos ngulos externos no muda jamais. Pode haver muitos ou poucos ngulos externos, o resultado  sempre 360.

Atividades 

<R+>
64. Calcule a soma das medidas dos ngulos internos deste polgono _`[no adaptado_`]:
  Resoluo: 
  O nmero de lados desse polgono  n=6. Ento: 
  S=`(n-2)'180 
  S=`(6-2)'180; portanto, S=720. 

<141>
65. Desenhe um heptgono (polgono de 7 lados) convexo e trace todas as diagonais que partem de um mesmo vrtice. 
 a) Em quantos tringulos ficou dividido o heptgono? 
 b) Qual  a soma das medidas 
  dos ngulos internos de um heptgono?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

66. Calcule a medida de cada ngulo interno de um hexgono regular. 
  Resoluo: 
  S=(6-2)'180; portanto, S=720. 
  Num hexgono regular, todos os ngulos internos tm a mesma medida x. Logo: 
  S=6x; portanto, 720=6x ou, ainda, x=120. 
  Cada ngulo mede 120.

67. Considere um decgono regular. 
 a) Calcule a soma das medidas de seus ngulos internos. 
 b) Calcule a medida de cada ngulo interno.

68. Neste polgono, calcule: 

_`[{polgono no adaptado com as medidas dos ngulos a seguir_`]
  :A=2x
  :B=5x
  :C=90}
  :D=90}
  :E=3x+60}

a) a soma das medidas dos ngulos internos; 
 b) a medida de cada um dos ngulos internos. 
<P>
69. Num hexgono {a{b{c{d{e{f, :A tem 10 a mais que :B, que tem 10 a mais que :C, que tem 10 a mais que :D, e assim por diante, at :F. Quanto mede cada ngulo interno desse hexgono?

70. Considere um polgono regular de 9 lados. 
 a) Quanto mede cada ngulo interno desse polgono? E cada ngulo externo? 
 b) Quanto vale a soma dos ngulos externos?

71. A soma das medidas dos ngulos internos de um polgono vale 1.620. Quantos lados tem esse polgono?
  Resoluo: 
  Na frmula S=`(n-2)'180, conhecemos o valor de S. 
  S=1.620 
  S=`(n-2)'180 
  1.620=`(n-2)'180 
  1.620=180n-360 
  180n=1.980; portanto, n=11. 
  Esse polgono tem 11 lados.
 72. A soma das medidas dos ngulos internos de um polgono pode ser 2.120? Explique sua resposta.
 73. Com ladrilhos em forma de hexgono regular, podemos cobrir totalmente um piso _`[no adaptado_`]. Usando ladrilhos com a forma de pentgono regular, tambm  possvel cobrir totalmente um piso? Por qu? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Pensando em casa

74. O que  um polgono regular?

75. O polgono de 15 lados chama-se pentadecgono. 
 a) Calcule a soma das medidas de seus ngulos internos. 
 b) Em um pentadecgono regular, quanto mede cada ngulo interno?
<P>
76. Em um hexgono regular: 
 a) quanto vale a soma das medidas dos ngulos internos? 
 b) quanto mede cada ngulo interno? 
 c) quanto mede cada ngulo externo? 
 d) quanto vale a soma das medidas dos ngulos externos? 

<142>
77. A soma das medidas dos ngulos internos de um certo polgono  2.880. Quantos lados tem esse polgono?
 78. Cada ngulo externo de um polgono regular mede 30. Diga quantos lados tem esse polgono.

_`[{para as atividades 79 e 80, pea orientao ao professor_`]

79. Neste mosaico _`[no adaptado_`], todos os pentgonos so regulares. Calcule a medida dos ngulos internos dos losangos.

80. Num certo polgono regular _`[no adaptado_`], cada ngulo externo mede 18. 
 a) Quanto mede cada ngulo interno desse polgono? 
 b) Quantos lados tem esse polgono? 

81. Mesmo aumentando o nmero de lados do polgono e a quantidade dos ngulos externos, a soma de suas medidas permanece igual a 360. Como isso  possvel? Tente escrever uma explicao breve. 

Desafios e surpresas

7. Neste polgono _`[no adaptado_`], calcule as medidas *x* e *y*.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
8. Num polgono regular, o ngulo interno mede o triplo do ngulo externo. Quantos lados tem esse polgono?
 9. Quantos quadrilteros congruentes, como os da figura 
  _`[no adaptada_`], so necessrios para que a volta se complete? 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Terceira Parte
 
